教材通读课-北师版数学（必修一）

参考资料

• 普通高中教科书·数学必修 第一册

第一章 预备知识 1

1 集合（set，简称为集） 元素（element），数集（set of numbers），自然数集 $\mathrm{N}$，正整数集 ${\mathrm{N}}_{+}\mathrm{或}{\mathrm{N}}^{\ast }$，整数集 $\mathrm{Z}$，有理数集 $\mathrm{Q}$，实数集 $\mathrm{R}$，正实数集 ${\mathrm{R}}_{+}$ 列举法，描述法 属于（belong to）$\mathrm{a}\in \mathrm{A}$，$\mathrm{a}\notin \mathrm{A}$ 空集（empty set） ∅，有限集（finite set），无限集（infinite set） 区间，闭区间 [a,b]，开区间 (a,b)，半开半闭区间 [a,b)，(a,b]，区间的端点，无穷大 ∞，集合的数轴表示 子集（subset），Venn 图，真子集（proper subset），

规定：空集是任何集合的子集 ∅

包含于 $\mathrm{A}\subseteq \mathrm{B}$，真包含于 $\mathrm{A}⫋\mathrm{B}$ 交集（intersection of sets） $\mathrm{A}\cap \mathrm{B}$，并集（union of sets）$\mathrm{A}\cup \mathrm{B}$ 全集（universal set），补集（complement of set）${\complement }_{U}A$ P13 集合论，康托尔

2 常用逻辑用语 推出 $p\Rightarrow q$ 必要条件（necessary condition），充分条件（sufficient condition），充要条件（necessary and sufficient condition） 全称量词（universal quantifier）$\forall$，存在量词（existential quantifier）$\exists$，全称量词命题，存在量词命题

全称量词命题和存在量词命题的否定

$\forall x\in M，x具有性质p(x).的否定为\exists x\in M，x不具有性质p(x).$ $\exists x\in M，x具有性质p(x).的否定为\forall x\in M，x不具有性质p(x).$

3 不等式 不等式的性质 基本不等式（inequality of arithmetic and geometric means）

$$\begin{array}{c}\frac{a+b}{2}\ge \sqrt{ab}，当且仅当a=b时，等号成立\\ 两个非负实数的算数平均值大于或等于他们的几何平均值.\end{array}$$

算数平均值，几何平均值，均值不等式 最小值（minimum），最大值（maximum）

4 一元二次函数与一元二次不等式（quadratic inequality in one variable）

第二章 函数 49

1 生活中的变量关系 分段函数（piecewise function）

2 函数（function） 对应关系 $f$，定义域（domain），函数值，值域（range） 函数的表示方法：解析法、列表法、图像法 狄利克雷函数 $f(x)=\{\begin{array}{ll}1,& x为有理数,\\ 0,& x为无理数.\end{array}$ 取整函数

3 函数的单调性和最值 单调递增，单调递增区间，单调递减，单调递减区间，单调性，单调区间 增函数（strictly increasing function），减函数（strictly decreasing function），最大值，最小值，最值

4 函数的奇偶性与简单的幂函数 奇函数（odd function），偶函数 (even function），奇偶性 幂函数（power function）

第三章 指数运算与指数函数 75

1 指数幂的拓展

正分数指数幂

给定正数 $a$ 和正整数 $m,n（n>1,且m,n互素)$，若存在唯一的正数 $b$，使得 $b^n=a^m$，则称 $b为a的\frac{m}{n}次幂$，记作 $b=a^{\frac{m}{n}}$

同理可定义负分数指数幂 $a^{-\frac{m}{n}}=\frac{1}{a^{\frac{m}{n}}}=\frac{1}{\sqrt[n]{a^m}}$ 扩展到全体实数 $a^{-a}=\frac{1}{a^a}$

2 指数幂的运算性质 指数（exponent） 将正数指数幂的运算性质推广到实数

$$\begin{array}{rl}& (1)a^{\alpha }\cdot a^{\beta }=a^{\alpha +\beta };\\ & (2)(a^{\alpha }{)}^{\beta }=a^{\alpha \beta };\\ & (3)(ab{)}^{\alpha }=a^{\alpha }{b}^{\alpha }.\end{array}$$

3 指数函数（exponential function） 指数函数的图像与性质

P88 的指数函数的图像和性质表 3-6 是需要自己完全理解的，笔记上不再列出

第四章 对数运算与对数函数 97

1 对数的概念 对数（logarithm）${\log }_{a}N=b.$，底数，真数，常用对数（common logarithm） $\lg N$，自然对数（natural logarithm） $\ln N$.

2 对数的运算

若 $a>0,且a\ne 1，M>0,N>0,b\in R$，则对数运算具有如下性质：

$$\begin{array}{rl}& \\ & (1){\log }_a(M\cdot N)={\log }_{a}M+{\log }_{a}N;\\ & (2){\log }_a\frac{M}{N}={\log }_{a}M-{\log }_{a}N;\\ & (3){\log }_a{M}^b=b{\log }_{a}M.\end{array}$$

换底公式

一般地，$若a>0,b>0,c>0,且a\ne 1,c\ne 1$, 则 ${\log }_{a}b=\frac{{\log }_{c}b}{{\log }_{c}a}$

P109 指数的换底公式 一般地，对于任意不为 1 的正数 $a$ 和 $b$，有 $a=b^{{\log }_{b}a}$，所以对任意实数 $\alpha$ 都有 $a^{\alpha }=b^{\alpha {\log }_{b}a}$

3 对数函数（logarithmic function） 常用对数函数，自然对数函数 反函数（inverse function），互为反函数 对数函数 $y={\log }_{2}x$ 的图像和性质 P114 对数函数 $y={\log }_{a}x$ 的图像和性质

P117 数学软件 GeoGebra 在线使用

4 指数函数、幂函数、对数函数增长的比较

5 信息技术支持的函数研究

第五章 函数应用 129

1 方程解的存在性及方程的近似解 零点（zero），零点存在定理 二分法（bisection method）

2 实际问题中的函数模型

第六章 统计 145

1 获取数据的途径 直接获取，直接数据（一手数据），间接获取，间接数据（二手数据） 普查（general survey），抽样调查（sampling survey，抽查） 总体（population），样本（sample），抽样，样本容量，样本量（sample size），总体的分布

2 抽样的基本方法 随机抽样 简单随机抽样（simple random sampling），抽签法，随机数法，随机数表

P156 利用 Excel 产生随机数

分层随机抽样（stratified random sampling）

3 用样本估计总体的分布 直方图（histogram），频率分布直方图，频率折线图

4 用样本估计总体的数字特征 标准差（standard deviation） $s=\sqrt{s^2}=\sqrt{\frac{(x_1-\overline{x}{)}^2+(x_2-\overline{x}{)}^2+\dots +(x_n-\overline{x}{)}^2}{n}}$ 总体平均数（population mean），分层样本合并后的平均值 $w_1{\overline{x}}_1+w_2{\overline{x}}_2+\dots +w_n{\overline{x}}_n={\sum }_{i=1}^n{w}_i{\overline{x}}_i$ 总体方差（population variance） $s^2={\sum }_{i=1}^n{w}_i[s_i^2+({\overline{x}}_i-\overline{x}{)}^2]$ 百分位数（percentile），$p$ 分位数，四分位数

第七章 概率 183

1 随机现象与随机事件 确定性现象，随机现象（random phenomenon） 试验，试验结果，列举法 样本空间（sample space），样本点（sample point），有限样本空间 随机事件（random event，简称事件），必然事件（inevitable event），不可能事件（impossible event） 交事件（积事件），并事件（和事件），互斥事件

2 古典概型 概率（probability） 古典概率模型（classical models of probability，古典概型） $P(A)=\frac{A包含的样本点个数}{\Omega 包含的样本点总数}=\frac{m}{n}$ 互斥事件的概率加法公式 $P(A_1\cup A_2\cup \dots \cup A_n)=P(A_1)+P(A_2)+\dots +P(A_n)$

3 频率与概率 用频率来估计概率

4 事件的独立性 相互独立事件，相互独立（mutually independent） $P(AB)=P(A)P(B)$

第八章 数学建模活动（一）

1 走进数学建模

• 七桥问题，一笔画定理

2 数学建模的主要步骤

flowchart TD
    R[实际情况] --> Q[提出问题]
    Q --> M[建立模型]
    M --> S[求解模型]
    S --> C{检验结果}
    C --不合乎实际--> M
    C --合乎实际--> O[实际结果]

3 数学建模活动的主要过程 选题 - 开题 - 做题 - 结题