教材通读课-北师版数学（选修一）

参考资料

- 普通高中教科书·数学选择性必修 第一册

第一章 直线与圆 1

坐标法 / 解析几何法

1 直线与直线的方程

直线的倾斜角，直线的斜率 $k=\frac{\Delta y}{\Delta x}$

直线的斜率与倾斜角、方向向量的关系 $k=tan\alpha (其中\alpha \ne \frac{\pi }{2})$ 若 $k$ 是直线 $l$ 的斜率，则 $v=(1,k)$ 是它的一个方向向量，若直线 $l$ 的一个方向向量的坐标为 $(x,y)$，其中 $x\ne 0$，则它的斜率 $k=\frac{y}{x}$.

直线的方程

点斜式 $y-y_0=k(x-x_0)$ 斜截式 $y=kx+b$ 直线在 y 轴上的截距 两点式 $\frac{y-y_1}{y_2-y_1}=\frac{x-x_1}{x_2-x_1}(其中x_1\ne x_2,y_1\ne y_2)$ 截距式 $\frac{x}{a}+\frac{y}{b}=1(其中ab\ne 0)$ 一般式 $Ax+By+C=0(其中A,B不全为0)$ 点法式 $A(x-x_0)+B(y-y_0)=0$ 直线的法向量

两条直线的平行与垂直 平行：$l_1//l_2⟺k_1=k_2$ 垂直：$l_1\perp l_2⟺k_1{k}_2=-1$

两条直线的交点坐标

平面直角坐标系中的距离公式

两点间的距离公式 $|AB|=\sqrt{(x_2-x_1{)}^2+(y_2-y_1{)}^2}$ 点到直线的距离公式 $d=\frac{|A{x}_0+B{y}_0+C|}{\sqrt{A^2+B^2}}(其中A,B不全为0)$ 两条平行直线间的距离公式 $d=\frac{|C_2-C_1|}{\sqrt{A^2+B^2}}(其中A,B不全为0,且C_1\ne C_2)$

2 圆与圆的方程

圆的标准方程 $(x-a{)}^2+(y-b{)}^2=r^2$ 圆的一般方程 $x^2+y^2+Dx+Ey+F=0(其中D^2+E^2-4F^2>0)$ 直线与圆的位置关系：相交，相切，相离 圆与圆的位置关系：外离，外切，相交，内切，内含，连心线，圆心距

第二章 圆锥曲线 47

1 椭圆

椭圆的焦点，椭圆的焦距 椭圆的标准方程（焦点在 x 轴上） $\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1(a>b>0)$ 椭圆的简单几何性质 范围 对称性，椭圆的中心 椭圆的顶点，长轴，短轴，长半轴长，短半轴长 椭圆的离心率 $e=\frac{c}{a}$ P59 均匀压缩

2 双曲线

双曲线的焦点，双曲线的焦距 双曲线的标准方程（焦点在 x 轴上） $\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1(a>0,b>0)$ 双曲线的简单几何性质 范围 对称性，双曲线的中心 双曲线的顶点，实轴，虚轴，实半轴长，虚半轴长 双曲线的离心率 双曲线的渐近线

3 抛物线

抛物线的焦点，抛物线的准线 抛物线的标准方程 $y^2=2px(p>0)$ 它的准线方程 $x=-\frac{p}{2}$ 抛物线的简单几何性质 范围 对称性 抛物线的顶点 抛物线的离心率 抛物线的标准方程

4 直线与圆锥曲线的位置关系

P84 圆锥曲线的共同特征 P86 圆锥曲线的光学性质

第三章 空间向量与立体几何 91

1 空间直角坐标系 坐标轴，坐标平面，右手系 空间直角坐标系中的坐标，横坐标，纵坐标，竖坐标 空间两点间的距离公式 $|PQ|=\sqrt{(x_2-x_1{)}^2+(y_2-y_1{)}^2+(z_2-z_1{)}^2}$

2 空间向量与向量运算 自由向量，共面向量 空间向量的加减法 空间向量的数乘运算 共线向量基本定理（一维向量基本定理） 空间向量的数量积

P108 利用 GeoGebra 绘制空间向量

3 空间向量基本定理及空间向量运算的坐标表示 空间向量基本定理 $\vec{p}=x\vec{a}+y\vec{b}+z\vec{c}$ 空间向量运算的坐标表示 标准正交基 $\{\vec{i},\vec{j},\vec{k}\}$，坐标向量 空间向量平行（共线）和垂直的条件 空间向量长度与夹角的坐标表示

4 向量在立体几何中的应用 直线的方向向量与平面的法向量 用向量方法研究立体几何中的位置关系

三垂线定理及其逆定理 用向量方法研究立体几何中的度量关系 两直线的夹角：$\cos \theta =|\cos <\vec{a},\vec{b}>|$ 直线与平面的夹角：$\sin \theta =|\cos <\vec{l},\vec{n}>|$ 平面与平面的夹角 $\cos \theta =|cos<\overrightarrow{n_1},\overrightarrow{n_2}>|=\left|\frac{\overrightarrow{n_1}\cdot \overrightarrow{n_2}}{|\overrightarrow{n_1}||\overrightarrow{n_2}|}\right|$ 空间中的距离问题 综合几何方法，解析几何方法，平面向量方法 点 $P$ 到平面 $\alpha$ 的距离 $d=|\overrightarrow{PA}\cdot \overrightarrow{n_0}|$ 用向量方法求解点到平面的距离问题的一般步骤是： (1) 确定一个法向量； (2) 选择参考向量； (3) 确定参考向量在法向量方向上的投影向量； (4) 求投影向量的长度. 点 $P$ 到直线 $l$ 的距离 $d=\sqrt{|\overrightarrow{PA}{|}^2-|\overrightarrow{PA}\cdot \overrightarrow{l_0}{|}^2}$ 异面直线之间的距离 $d=\left|\overrightarrow{AB}\cdot \frac{\vec{n}}{|\vec{n}|}\right|$

5 数学活动探究（一）：正方体截面探究 凸多面体顶点数、棱数、面数之前的关系

第四章 数学建模活动（三） 151

略

第五章 计数原理 157

1 基本计数原理 分类加法计数原理 分步乘法计数原理

2 排列问题 排列，排列数，排列问题 排列数公式 $A_n^m=n(n-1)(n-2)\cdot \dots \cdot [n-(m-1)]$

规定：$A_n^0=1,0!=1$

3 组合问题 组合，组合问题，组合数 组合数公式 $C_n^m=\frac{A_n^m}{A_m^m}=\frac{n!}{m!(n-m)!}$

规定：$C_n^0=1$

组合数的性质

1. $C_n^m=C_n^{n-m}$
2. $C_{n+1}^m=C_n^m+C_n^{m-1}$

4 二项式定理 $(a+b{)}^n={\sum }_{k=0}^n{C}_n^k{a}^{n-k}{b}^k$ 二项展开式，二项式系数，二项式通项 $T_{k+1}$ 二项式系数表，杨辉三角

第六章 概率 183

1 随机事件的条件概率

条件概率 $P(B|A)=\frac{P(AB)}{P(A)}$ 乘法公式

$$\begin{array}{c}P(AB)=P(A)P(B|A)(其中P(A)>0)\\ P(AB)=P(B)P(A|B)(其中P(B)>0)\end{array}$$

相互独立事件 $事件A与事B相互独立\iff P(AB)=P(A)P(B)$ 全概率公式 $P(A)={\sum }_{i=1}^{n}P(B_i)P(A|B_i)$ 贝叶斯（Bayes）公式 $P(A|B_i)=\frac{P(B_i)P(A|B_i)}{\sum _{j=1}^{n}P(B_j)P(A|B_j)}$

2 离散型随机变量及其分布列

随机变量 离散型随机变量 X 的分布列（简称 X 的分布列） $P(X=x_i)=p_i(i=1,2,\cdots ,n,\cdots )$ 列表 随机变量 X 服从该分布列，记作 $X\sim \left[\begin{array}{ccccc}{x}_1& x_2& \cdots & x_n& \cdots \\ p_1& p_2& \cdots & p_n& \cdots \end{array}\right]$ 伯努利试验，两点分布（0-1 分布 / 伯努利分布）

3 离散型随机变量的均值与方差

随机变量 X 的均值或数学期望（简称期望） $EX=x_1{p}_1+x_2{p}_2+\cdots +x_i{p}_i+\cdots +x_n{p}_n$ 随机变量 X 的方差 $DX=E(X-EX{)}^2={\sum }_{i=1}^n(x_i-EX{)}^2{p}_i$ 标准差 ${\sigma }_X=\sqrt{DX}$

4 二次分布与超几何分布 n 重伯努利试验 二项分布 $X\sim B(n,p)$ $P(X=k)=C_n^k{p}^k(1-p{)}^{n-k}(k=0,1,2,\cdots ,n)$ 一般地，若随机变量 $X\sim B(n,p)$，则 $EX=np,DX=np(1-p)$ 特殊地，若随机变量 X 服从参数为 p 的两点分布，则 $EX=p,DX=p(1-p)$ 超几何分布 $P(X=k)=\frac{C_M^k{C}_{N-M}^{n-k}}{C_N^n},\max \{0,n-(N-M)\}\le k\le \min \{n,M\}$ 其中 $n\le N,M\le N,n,M,N\in {\mathbb{N}}_{+}$ 一般地，当随机变量 X 服从参数为 N, M, n 的超几何分布时，其均值 $EX=\frac{nM}{N}$

5 正态分布 分布密度函数 正态分布密度（函数），简称 正态分布； ${\phi }_{\mu ,\sigma }(x)=\frac{1}{\sqrt{2\pi \sigma }}{e}^{-\frac{(x-\mu {)}^2}{2{\sigma }^2}},x\in (-\infty ,+\infty )$ 正态分布密度曲线，简称 正态曲线，误差模型 正态曲线的性质与特点 $3\sigma 原则$ P224 利用 GeoGebra 探究概率分布

第七章 统计案例 233

1 一元线性回归 成对数据，散点图，曲线拟合，直线拟合 最小二乘法 线性回归方程，回归直线，线性回归方程的系数

2 成对数据的线性相关性 （线性）相关系数

P249 借助 Excel 计算两个随机变量之间的样本相关系数

3 独立性检验问题 $2\times 2$ 列联表，独立性检验 独立性检验的基本思想 ¹

中英术语对照表

中文	英文
直线	straight line
倾斜角	angle of inclination
斜率	slope
直线方程	equation of a straight line
点斜式	point-slope form
斜截式	slope-intercept form
截距式	intercept form
两点式	two-point form
圆	circle
圆的标准方程	standard equation of a circle
圆的一般方程	general equation of a circle
椭圆	ellipse
焦点	focus
焦距	focal distance
双曲线	hyperbola
抛物线	parabola
渐近线	asymptote
准线	directrix
空间直角坐标系	threevdimensional rectangular coordinate system
向量	vector
方向向量	direction vector
法向量	normal vector
三垂线定理	theorem of three perpendiculars
加法原理	addition principle
乘法原理	multiplication principle
排列	permutation
组合	combination
组合公式	combination formula
二项式定理	binomial theorem
条件概率	conditional probability
随机变量	random variable
离散型随机变量	discrete random variable
伯努利试验	Bernoulli experiment
均值（数学期望）	mean(mathematical expectation)
方差	variance
二项分布	binomial distribution
超几何分布	hypergeometric distribution
正态分布	normal distribution
曲线拟合	curve fitting
最小二乘法	method of least squares
回归方程	regression equation
回归直线	straight line of regression
相关系数	correlation coefficient

Footnotes

1. 看完本节的课本内容意犹未尽的话，可尝试了解 ${\chi }^2$ 检验，点击此处获取更多 ↩